Мне хочется еще продолжить тему чисел, такую на первый взгляд простую и такую на внимательный взгляд сложную.
Числа в нашем мышлении возникали не сразу. И сначала это были целые числа. Причем и как число, т.е. свободный от объекта символ, они появились не сразу. Еще Н. Н. Миклухо-Маклай обнаружил, что у туземцев, среди которых он жил, было три разных способа счета: для людей, для животных и для утвари, оружия и прочих неодушевленных предметов. Т.е. число для них еще не было отдельным организующим принципом, а было всего лишь неким признаком внутри определенного круга понятий.
Однако, все более абстрагируясь, человеческое мышление выделяет числа в особый класс сакральных знаний. Пифагорейцы считали, что числа принадлежат к миру принципов, лежащих в основе мира вещей. Пифагор говорил:
“Все вещи можно представить в виде чисел”. Числа становятся выражением неких сакральных принципов. Своею целостностью и законченностью они позволяют ограничить громадное поле непознанного. Своею абстрактностью и оторванностью от всех и всяческих вещей они позволяют выделять сходные признаки и классифицировать их. Математика становится важнейшей наукой, на которой базируются все остальные древнейшие науки от астрологии и алхимии до философии. Именно она выталкивает человеческое мышление за рамки догм, стереотипов, привычных шаблонных представлений, потому что любопытство к числам, исследование их, всевозможные операции с ними все время задают новую базу и направление для размышлений. Платон считал, что математику необходимо включать в программу образования всех философов и государственных деятелей. Надпись над входом в его школу (Академию) гласила:
“Не геометр да не войдет!”.С развитием цивилизации целых чисел становится недостаточно и появляются числа дробные. Для торговли, для каких-то строительных и измерительных работ это кажется вполне естественным. Однако возможно именно это дает толчок и к развитию аналитики в нашем мышлении. Т.е. кроме абстрагирования (выделения чисел как понятия независимого от окружающих вещей) и синтеза (способности объединять выделенные признаки в определенный принцип) с возникновением рациональных дробей возникает и способность к анализу (расчленению целого на части в процессе познания этого самого целого).
И опять-таки же дальше математика преподносит нашему мышлению очередную почти невыносимую задачу. В ее поле зрения все упорнее и упорнее возникают числа иррациональные. Это нам, слышавшим об этих числах со школы, сейчас кажется, что ничего особенного в этом нет. Ну подумаешь иррациональное число… и что тут особенного? А то, что даже для пифагорейцев, великой математической школы античности, открытие этих чисел стояло на грани ереси.
“Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.),пифагорейцу.
…
Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы”.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1 ... 0%BB%D0%BEБыло ли так на самом деле или не было, не важно. А важно то, что раз легенда сохранилась и дошла да наших дней, то нам и по сей день перейти границу приятия иррациональных чисел очень сложно. (А ведь кроме них существуют еще и числа мнимые – это все школьная программа, но многие ли из нас в школе, кроме принятия к сведению, задумывался о глубинной сущности этих понятий?) Пифагорейцы задумывались и для них
“открытие, что существуют числа вроде золотого сечения, которые все тянутся и тянутся вечно и при этом в них нет никаких следов повторяемости, никакой закономерности, вызвало самый настоящий философский кризис”. (Марио Ливио. “φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания”).
Оказывается, что существуют числа вполне себе конкретные, постоянно встречающиеся вокруг нас (как коэффициент золотого сечения), мало того постоянно участвующие в наших вычислениях (как число пи), выразимые знаком, но при этом никогда не могущие быть выражены до конца. Существование подобных чисел требовало от мышления выхода за границы, … но за границы не просто в непознанное или непознаваемое (эти-то границы рациональное мышление всегда перешагивает и стремится перешагнуть), а за границы
невыразимого. Т.е. познанного, но при этом невыразимого не только конкретно-предметными образами, но и абстрактно-символьными знаками. Вероятно, это и есть магическая форма знания, когда знания внутренней сути вещей и событий уходят за знак и символ, при этом не отменяя его. Этот символьный знак и есть иррациональное число (я не предлагаю его использовать буквально, я предлагаю рассматривать природу символов подобно природе иррациональных чисел). Каждое следующее поколение магов или каждая следующая трансформация магов на новый уровень есть добавление новой знаковой цифры в распознаваемую суть явлений, событий, вещей или есть приближение к собственной подлинности.
А впрочем, мышление на уровне природы иррациональных чисел – это уже не магическое мышления, это мышление магистров НИИ ЧАВО.
“Они были магами потому, что очень много знали, так много, что количество перешло у них, наконец, в качество, и они стали с миром в другие отношения, нежели обычные люди”.Количество знаний, переходящее в новое качество, уже с древнейшей древности позволяло человеческому мышлению открывать все новые и новые классы математических объектов. А они в свою очередь позволяли накапливать очередную порцию знаний. А впрочем … картина развития человеческого мышления конечно сложнее. И все-таки развитие математического мышления в этой картине играет не последнюю роль.
Еще раз с удовольствием порекомендую всем, кому интересно, книгу Марио Ливио. “φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания”.
Она рассказывает историю формирования в человеческом сознании одного иррационального числа – коэффициента золотого сечения. История интересная, почти детективная, опутанная собственными тайнами и спекуляциями вокруг него. Сегодня его часто используют, чтобы придать научный вид простеньким теориям и концепциям, стремящимся всяк на свой лад объяснить тайну мироздания или творения. Однако все не так просто. Природа этого числа долго не давалась человеческому разуму, хоть он давно и много блуждал вокруг нее, интересовался им, открывал, забывал, снова вспоминал… Впрочем, все в книге…
Книга вполне доступна и тем, кто плохо дружит с математикой. Математические знания в ней не выходят за рамки школьной программы. Зато много исторических сведений и глубоких философских размышлений.